Réussir ses projections vectorielles !

Avez-vous déjà été confronté à un problème faisant intervenir des projections vectorielles ? Si oui, vous avez sûrement remarqué qu’il n’est pas toujours facile de faire des projections, et que celles-ci semblent la plupart du temps hasardeuses !

Et quand on lance une recherche sur internet pour comprendre les projections, on tombe toujours sur des cas particuliers, qui ne correspondent pas forcement à notre problème..

Cet article est donc là pour vous proposer une seule astuce, qui vous permettra de réussir pratiquement n’importe quelles projections vectorielles !

Pour réaliser cette astuce, nous allons procéder en trois étapes ; une fois qu’elles seront maîtrisées, vous serez capable de faire votre projection en quelques secondes !

Première étape :

La première étape consiste à prendre un bout de papier, puis à tracer l’axe horizontal (celui des abscisses x), et l’axe vertical (celui des ordonnées y), en les orientant ; ensuite il faut tracer quatre flèches en diagonale (celles qui sont représentées en rouge).

axes_première_étape

Deuxième étape :

La deuxième étape consiste à tracer un cercle autour du centre O, et on repère ensuite les arcs correspondant aux angles θ (en jaune) et aux angles α (en bleu). Il faut toujours adopter cette configuration, les deux premiers angles θ se trouvant dans la partie positive de l’axe des abscisses (x) sont collés, tandis que les deux autres angles θ se trouvant dans la partie négative de l’axe des abscisses (x) sont séparés. C’est l’inverse pour les angles α.

angles_deuxième_étape

Troisième étape :

La troisième étape consiste à renommer les axes des abscisses et des ordonnées par des cosinus et des sinus.

L’astuce (si le cas se présente) consiste à reproduire l’un des deux schémas (ci-dessous) sur un bout de papier, puis le comparer avec la situation de l’exercice (c’est-à-dire, regarder quelle est l’orientation de la flèche rouge par rapport à l’axe des abscisses et des ordonnées). Pour mieux visualiser, trois exemples vous seront proposés juste après les explications de ces deux schémas.

réussir_ses_projections_vectorielles_pour_angle_théta

Cas où l’angle correspond à θ :

Pour l’axe horizontal (x) :

L’axe des abscisses (x) est divisé en deux parties,

La partie colorée en orange, à gauche, correspond à la partie négative de l’axe x, elle correspond à  – sin(θ)ux
La partie colorée en vert, à droite, correspond à la partie positive de l’axe x, elle correspond à  + cos(θ)ux

Pour l’axe vertical (y) :

L’axe vertical (y) divise l’axe (x) en deux parties, nous venons de le voir juste au-dessus, ainsi on a une expression différente de chaque côté :

Les ± sin(θ)uy se placent à droite, ils doivent être différents du cos(θ)ux qui se trouve lui aussi à droite, mais pour l’axe (x).
Les ± cos(θ)uy se placent à gauche, ils doivent être différents du – sin(θ)ux qui se trouve lui aussi à gauche, mais pour l’axe (x).

En soit, pour se souvenir de ce schéma, il suffit de placer en premier le cos(θ)ux sur la partie positive de l’axe (x), puis les ± sin(θ)uy de chaque côté de la partie positive de l’axe (x), puis de faire l’inverse pour la partie négative de l’axe de (x).

Cas où l’angle correspond à α : (c’est le cas inverse de l’ange θ)

Pour l’axe horizontal (x) :

L’axe des abscisses (x) est divisé en deux parties,

La partie colorée en orange, à gauche, correspond à la partie négative de l’axe x, elle correspond à – cos(α)ux
La partie colorée en vert, à droite, correspond à la partie positive de l’axe x, elle correspond à + sin(α)ux

Pour l’axe vertical (y) :

L’axe vertical (y) divise l’axe (x) en deux parties, nous venons de le voir juste au-dessus, ainsi on a une expression différente de chaque côté :

Les  ± cos(α)uy se placent à droite, ils doivent être différents du sin(α)ux qui se trouve lui aussi à droite, mais pour l’axe (x).
Les ± sin(α)uy se placent à gauche, ils doivent être différents du – cos(α)ux  qui se trouve lui aussi à gauche, mais pour l’axe (x).

réussir_ses_projections_vectorielles_pour_angle_théta
(même dessin)

Nous allons maintenant passer à la mise en pratique de cette astuce !

Exemples d’application :

1) En comparant la situation ci-dessous aux deux schémas de l’astuce, on reconnaît le cas où l’angle correspond à α, on obtient donc : V = V×sin(α)ux + V×cos(α)uy (Vous avez sans doute remarqué le V devant sinus et cosinus, ce V correspond à la norme du vecteur V, il faut systématiquement le mettre devant le cos et le sin, car la norme est comprise dans la formule).

Exercice_1_projection_vectorielle

2) En comparant la situation ci-dessous aux deux schémas de l’astuce, on reconnaît le cas où l’angle correspond à θ, on obtient donc : Tension = -T×sin(θ)ux + T×cos(θ)uy

Exercice_2_projectrion_vectorielle

3) Ce dernier exercice est une application des projections vectorielles concernant les forces, en particulier par rapport au Poids Poids :

En comparant la situation ci-dessous aux deux schémas de l’astuce, on reconnaît le cas où l’angle correspond à α, on obtient donc (en retournant le schéma) : Poids = mg×sin(α)ux – mg×cos(α)uy (le poids est la force de la pesanteur, la norme du poids est donc égale à m×g (m pour la masse en kg, et g pour l’accélération de la pesanteur en m·s-2, ce qui par ailleurs est bien homogène à une force N : kg.m·s-2)).

Exercice_3_projection_du_poids

Cette astuce sur les projections permet d’être rapide, mais aussi d’éviter des calculs faisant intervenir des sin(π/2 + α), cos(α – π/2), etc.. dans lesquels on peut facilement se tromper ! Cependant, l’astuce qui vous a été présentée ne fonctionne que dans les cas décrits plus haut, avec les angles θ et α, mais dans la majorité des cas, les projections ont lieu sur ces angles !

1 commentaire
  1. vives dit

    bonjour,
    je préfère la méthode classique de projections , pour le plan incliné ,quand x est parallèle à la plus grande pente et y sa perpendiculaire ou l’autre quand x est parallèle au sol et y perpendiculaire ,on se retrouve dans les signes négatifs ou positifs aisément ,il suffit d’y travailler
    cordialement
    robert vives

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