Comprendre les probabilités

Nouvelle série d’articles sur JeRetiens ayant pour thème la logique, un de mes dadas !
Je me ferai un plaisir d’y exposer tout au long de l’année différents points ou disciplines qui attiennent à la logique et vous verrez qu’elle touche différents domaines: bien évidemment les mathématiques, mais également le langage, l’argumentation, etc.
Cette série de petits cours vous permettra donc d’améliorer votre logique en en comprenant les tenants et aboutissants et de ce fait d’être à la fois meilleur rhéteur ET joueur de cartes !

Que sont les probabilités, qu’est-ce qu’une probabilité ?

La probabilité qu’un événement se produise est exprimée quantitativement par un nombre allant de 0 (impossible) à 1 (certain).
Les probabilités initiales sont souvent attribuées soit en partant de l’hypothèse classique que tous les résultats possibles sont également susceptibles de se produire, soit par une observation empirique attentive de la fréquence relative à laquelle les événements se sont effectivement produits dans le passé. La probabilité d’occurrences alternatives et conjointes peut être calculée directement à partir de ces valeurs initiales.

Calcul de la probabilité

Puisque les arguments inductifs tendent seulement à montrer que leurs conclusions sont susceptibles d’être vraies, nous passons à la leçon d’aujourd’hui à un bref aperçu de la théorie moderne des probabilités. Nous supposons d’emblée que ce qui peut être dit comme probable est la survenance d’un événement, le genre de chose qui pourrait être décrit dans un énoncé ou une proposition.

Si nous attribuons une valeur numérique de 1,0 comme probabilité d’un événement qui doit se produire (signifié par un énoncé tautologique) et une valeur numérique de 0,0 comme probabilité d’un événement qui ne peut se produire (signifié par une auto-contradiction), chaque degré de probabilité qui se situe entre ces deux extrêmes peut être exprimé en une décimale ou fraction entre 0,0 et 1,0.

Il y a deux théories sur ce que ces représentations numériques de la probabilité peuvent signifier.

  1. Une théorie classique suppose que la probabilité d’un événement est le degré auquel il serait rationnel de croire la vérité d’une proposition décrivant l’événement.
  2. Une théorie des fréquences, en revanche, suppose que la probabilité d’un événement n’est qu’un rapport de la fréquence relative avec laquelle des événements d’un type similaire se sont effectivement produits dans le passé.

Dans la plupart des exemples que nous présentons ici, nous utiliserons une arithmétique combinatoire simple pour assigner la probabilité initiale P(A) d’un événement A.
A partir de là, nous pouvons facilement calculer la probabilité de la cooccurrence d’événements distincts.

Événements communs

Pourvu que nous ayons déjà assigné des probabilités initiales pour la survenance de chacun des deux événements, A et B, alors nous calculons la probabilité que les deux événements se produisent en appliquant la formule pour la survenance conjointe de deux événements :

P(A – B) = P(A) × P(B, si A)

Autrement dit, la probabilité que les deux événements se produisent est égale à la probabilité que le premier se produise multipliée par la probabilité que le second se produise si le premier s’est déjà produit.
Ainsi, par exemple :

  • La probabilité d’obtenir des têtes à un tirage au sort d’une pièce de monnaie est de 0,5 (ou 1/2), tout comme la probabilité d’obtenir des têtes à un deuxième tirage au sort de la même pièce. Ainsi, la probabilité d’avoir des têtes sur les deux tirages au sort est de 0,5 × 0,5 ou 0,25 (1/4).
  • La chance de tirer un des quatre as d’un jeu standard de 52 cartes est de 4/52 ; mais la chance de tirer un deuxième as n’est que de 3/51, car après avoir tiré le premier as, il n’y avait que trois as parmi les 51 autres cartes. Ainsi, la chance de tirer un as sur chacun des deux tirages est de 4/52 × 3/51, ou 1/221.
  • Supposons qu’un sac contient trois billes rouges, quatre billes bleues et cinq billes blanches. La probabilité de retirer une bille blanche sans regarder est de 5/12, la probabilité de retirer une seconde est de 4/11 et la probabilité de retirer une troisième est de 3/10. La probabilité de retirer trois billes blanches est donc de 5/12 × 4/11 × 3/10, soit 1/22. (La chance d’obtenir trois billes rouges, par contre, est de 3/12 × 2/11 × 1/10, ou seulement 1/220).

Événements alternatifs

Encore une fois, en supposant que nous avons déjà assigné des probabilités initiales pour la survenance des deux événements, A et B, nous calculons la probabilité qu’au moins un de ces événements se produise en appliquant la formule pour l’occurrence alternative de deux événements :

P(A ∨ B) = P(A) + P(B) – P(A – B)

C’est-à-dire que la probabilité que l’un ou l’autre des deux événements se produise est égale à la probabilité que le premier événement se produise, plus la probabilité que le second se produise, moins la probabilité que les deux se produisent. Le dernier terme de cette formule fournit une correction nécessaire parce que nous avons déjà compté l’occurrence conjointe deux fois, une fois dans chacun des autres termes.
Ainsi, par exemple :

  • La probabilité d’obtenir des têtes à un tirage au sort d’une pièce de monnaie est de 0,5 (ou 1/2), tout comme la probabilité d’obtenir des têtes à un deuxième tirage au sort de la même pièce. Ainsi, la probabilité d’avoir des têtes au moins une fois pendant deux tirages au sort est de .5 + .5 – (.5 × .5), ou .75 (3/4).
  • La chance de tirer l’un des quatre as d’un jeu standard de 52 cartes est de 4/52. Ainsi, la chance de tirer au moins un as sur deux tirages est 4/52 + 4/52 – (4/52 × 3/51), ou 33/221.
    Nous pouvons vérifier l’exactitude de ce résultat en calculant la probabilité d’obtenir des non-aces sur les deux tableaux : 48/52 × 47/51 ou 188/221. Puisqu’il est certainement vrai que l’un de ces résultats se produira (et qu’il est impossible que les deux se produisent), la somme de leurs probabilités est égale à 1].
  • Supposons qu’un sac contient trois billes rouges, quatre billes bleues et cinq billes blanches. Ensuite, la probabilité de retirer une bille blanche sans regarder est de 5/12. La probabilité de retirer au moins une bille blanche en deux essais est donc de 5/12 + 5/12 – (5/12 × 4/11), ou 15/22 (la probabilité d’obtenir au moins une bille rouge, par contre, est de 3/12 + 3/12 – (3/12 × 2/11), soit seulement 10/22).

Valeur attendue

Dans toute situation où il y a plusieurs résultats avec des probabilités différentes, nous calculons la valeur prévue d’un placement en multipliant la valeur de chaque résultat par la probabilité qu’il survienne, puis en additionnant tous nos résultats.

Supposons, par exemple, qu’un organisme de bienfaisance prévoit vendre 1 000 billets, puis attribuer un prix de 1 000 €, trois prix de 500 € et douze prix de 100 €. En supposant qu’aucun billet ne peut gagner plus d’un prix, la probabilité qu’un billet gagne le grand prix est de 1/1000, qu’il gagne un des deuxièmes prix 3/1000, qu’il gagne un des autres prix 12/1000 et qu’il ne gagne aucun prix 984/1000. Si l’on additionne les produits, on constate que :

LotProbabilité(multiplication)GainValeur prévue d’un billet
Grand prix1/1000x1000€1€
Deuxième prix3/1000x500€1,50€
Autre prix12/1000x100€1,20€
Aucun prix984/1000x0€0,00€
3,70€

 

Puisque la valeur prévue de chaque billet est de 3,70€, si ils sont vendus 10 €, l’organisme de bienfaisance recevra la majeure partie des recettes soit sur 10.000€ de gains, 6300€ nets pour 3700€ de prix reversés.

 

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