L’énigme des trois phares

Trois phares qui s’allument, s’éteignent, se rallument… de parfaits ingrédients pour notre énigme du lundi !

Sommaire de l'article

Énoncé

Sur la côte, il y a trois phares:

  • Le premier s’allume pendant 3 secondes, puis s’éteint pendant 3 secondes.
  • Le deuxième s’allume pendant 4 secondes, puis s’éteint pendant 4 secondes.
  • Le troisième s’allume pendant 5 secondes, puis s’éteint pendant 5 secondes.

Les trois lumières viennent de s’allumer ensemble.

1) A quel moment peut-on déterminer la première fois que les trois lumières s’éteignent en même temps ?

2) A quel moment peut-on déterminer la prochaine fois que les trois lumières s’allumeront en même temps ?

Indice

Il faut établir un graphique de la chronologie des allumages/extinctions des feux pour parvenir à trouver la réponse… !

Solution

Pour la première question (quand les trois lumières sont-elles éteintes en même temps), c’est assez simple.
Le troisième phare s’éteint au bout de 5 secondes, et pendant ce temps, le premier et le second sont également éteints. Les trois lumières s’éteignent donc juste après 5 secondes.

Il suffit de jeter un petit coup d’œil à notre infographie pour s’en rendre compte:

Tableau du temps d'allumage et d'extinction des lumières des trois phares en secondes
Tableau du temps d’allumage et d’extinction des lumières des trois phares en secondes.

Pour la seconde question, soit de savoir à quel moment les trois phares sont allumés en même temps, il convient de réfléchir comme suit:

  • Le premier phare s’allume toutes les 6 secondes.
  • Le deuxième phare s’allume toutes les 8 secondes.
  • Le troisième phare quant à lui s’allume toutes les 10 secondes. Ils se réuniront tous au multiple le moins commun de ces nombres.

La réponse à cette question se base sur les communs multiples.
Explications !
Le premier phare s’allume lorsque le nombre de secondes écoulées est un multiple de 6 : (0 seconde d’abord), puis 6 secondes, puis 12 secondes, etc.
Le deuxième phare s’allume lorsque le nombre de secondes écoulées est un multiple de 8 : (0 seconde d’abord), puis 8 secondes, puis 16 secondes, etc.
Le troisième phare s’allume lorsque le nombre de secondes écoulées est un multiple de 10 : (0 seconde d’abord), puis 10 secondes, puis 20 secondes, etc.

Pour trouver le moment où les trois phares sont allumés, vous devez trouver le nombre le plus petit qui est un multiple de 6, 8 et 10, ce qu’on appelle le plus petit commun multiple.

La façon d’y parvenir est de décomposer chaque nombre en ses nombres premiers :

  • 6 = 2×3
  • 8 = 2x2x2x2
  • 10 = 2×5

Vous pouvez ensuite voir que le plus petit commun multiple équivaut à 2x2x2x2x3x5x5 = 120. La réponse est donc 120 secondes (2 minutes) !

 

 

4 commentaires
  1. André dit

    J’ai mis un petit moment avant de piger que l’extinction commune arrive assez vite et ne dure qu’une seconde. Au début je cherchais s’il y avait un moyen algébrique pour trouver la solution ! On se laisse vite piéger quand on imagine que ça va être compliqué. Bien vu ! Finalement, pour la seconde question la bonne vieille arithmétique suffit encore et c’est plus simple qu’il ne le parait à première vue … Tu ne serait pas prof de maths par hasard ?

    1. Sam Zylberberg dit

      Bonne réflexion !

      Eh non, je suis plutôt historien et j’ai enseigné pendant pas mal d’années histoire-géo !

      1. André dit

        Marrant ça, l’histoire mène à tout…

  2. Faure dit

    La réponse fournie correspond à la question à quel moment peut-on voir les trois phare éteints ?
    or la question demande à quel moments les trois phares s’éteindront en même temps ; et cela n’arrivera jamais !
    D’ailleurs c’est déjà le cas juste pour les deux premiers phares.
    C’est comme si on demandait à quel moment la deuxième croche d’un triolet débute en même temps que la troisième double croche, par contre si on cherche à quel moment leurs sons se chevauchent alors ça arrive à chaque temps pendant la première moitié de la seconde croche du triolet et les deux derniers tiers de la double croche. Mixer maintenant un quintolet avec tout ça et vous aurez toujours les mêmes impossibilités mais des chevauchements différents.

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