Maîtriser les développements limités est une étape cruciale en mathématiques et en physique, mais leur mémorisation peut être un défi. Heureusement, nous avons des astuces pour toi ! Cet article te guidera à travers les développements limités les plus courants et te dévoilera des méthodes mnémotechniques originales pour les retenir facilement.
Les développements limités (DL) sont employés en maths (pour déterminer la convergence d’une suite) et en physique (pour remplacer l’expression d’une fonction compliquée par une fonction approchée, plus facile à exploiter).
Les développements limités usuels : La Fiche de Référence
Voici la fiche des développements limités (au voisinage de 0) les plus utilisés que nous allons décortiquer ensemble :
Figure 1 : Tableau des développements limités usuels au voisinage de 0, avec astuces visuelles.
Note : Pour des raisons de concision, les fonctions hyperboliques ne sont pas incluses dans ce tableau. Leurs développements sont similaires à ceux des fonctions cosinus et sinus, avec uniquement des symboles (+) à la place des symboles (-).
Les astuces qui vont suivre concernent principalement les premiers termes (à droite de la fiche). En effet, lors d’un exercice ou d’une approximation de courbe, ce sont généralement les premiers termes des DL que l’on utilise, et non l’ordre n.
Remarque : Il est possible de retrouver les premiers termes de ces fonctions avec la formule de Taylor-Young. Cependant, il est plus aisé et rapide de se souvenir directement des développements usuels lors d’un examen où le temps est limité, par exemple.
Nos astuces originales de mémorisation
Après avoir observé ces DL pendant des heures, nous avons finalement réussi à trouver des points communs entre toutes ces relations, ce qui peut grandement faciliter leur apprentissage !
Pour mieux comprendre et appliquer ces astuces, il est utile de bien identifier le nom complet de chaque fonction impliquée dans ces DLs :
- cos(x) correspond à la fonction cosinus
- sin(x) à la fonction sinus
- ch(x) à la fonction cosinus hyperbolique
- sh(x) à la fonction sinus hyperbolique
- ex correspond à la fonction exponentielle
- ln(1+x) correspond à une fonction logarithme
- 1/(1+x) à la fonction « fraction positive » (nom mnémotechnique pour l’astuce)
- 1/(1-x) à la fonction « fraction négative » (nom mnémotechnique pour l’astuce)
- √(1+x) correspond à la fonction racine carrée
- √(1/(1+x)) à la fonction « fraction racine carrée » (nom mnémotechnique pour l’astuce)
Astuce 1 : le signe (-) avec le « a »
On remarque que toutes les fonctions ci-dessus qui possèdent la lettre « a » dans leur nom possèdent aussi le signe (-) juste après le tout premier terme. C’est le cas des fonctions : logarithme, fractions, et des fonctions sinusoïdales (cosinus et sinus).
Cas particulier : Pour la fonction racine carrée, qui contient deux « a », le signe (-) se trouve juste après le deuxième terme !
Astuce 2 : le chiffre (1) avec le « c »
On remarque ensuite que pour toutes les fonctions possédant la lettre « c » dans leur nom, celles-ci possèdent aussi le chiffre 1 en tout premier terme. C’est le cas des fonctions : cosinus, fractions, et racine.
Cas particulier : La fonction exponentielle commence par un 1, alors qu’il n’y a pas de « c » dans son nom. Pour t’en souvenir, pense au terme « etc.. » qui représente bien quelque chose d’exponentiel !
Remarque : Ces deux astuces (« a : (-) » et « c : (1) ») complètent aussi les astuces logiques, comme le fait que sin(0) = 0 donc le DL de sinus commence à x, ou encore que ln(1+0) = ln(1) = 0 donc le DL du logarithme commence à x aussi.
Extension aux équivalents usuels
Ces astuces fonctionnent également avec les équivalents usuels !
Figure 2 : Tableau des équivalents usuels au voisinage de 0.
Pour la première ligne, nous avons les équivalents liés à l’exponentiel, la puissance, la racine carrée, le cosinus et le cosinus hyperbolique. Leur point commun ? Ces cinq équivalents possèdent un c dans leurs noms (ou une sonorité similaire au ‘c’ comme le ‘x’ d’exponentiel). Ainsi, ils seront toujours suivis d’un (-1) pour donner un équivalent !
À l’inverse, dans la ligne du dessous qui comprend le logarithme, le sinus, le sinus hyperbolique, la tangente et la tangente hyperbolique, aucun ne possède la lettre ‘c’ dans leurs noms. Il n’y a donc pas de (-1) !
Conclusion
Nous espérons sincèrement que ces astuces originales t’aideront à aborder les développements limités et les équivalents usuels avec plus de sérénité ! La mémorisation devient un jeu d’enfant quand on trouve les bons raccourcis. N’hésite pas à pratiquer ces méthodes régulièrement pour les maîtriser parfaitement et gagner un temps précieux lors de tes examens.
Si tu as d’autres astuces ou des questions, n’hésite pas à nous les partager en commentaire !
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tres interessant
Complètement d’accord, d’autant que la technique du a ne fonctionne pas avec la « fraction négative ».
Il suffit de connaître les premiers termes de 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + …
On trouve facilement 1/(1+x) = 1 – x + x^2 – x^3 + …
On intègre pour obtenir ln(1+x) qui vaut l’intégrale de 1 – x + x^2 – x^3 + … soit ln(1+x) = x – (x^2)/2 + (x^3)/3 – (x^4)/4 + …
Pour les fonctions trigonométriques, il suffit de connaître le DL d’une d’entre-elles :
Personnellement je préfère sin x = x – (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) + …
On dérive et on obtient : cos x = 1 – (x^2)/(2!) + (x^4)/(4!) + …
Le DL du cosinus hyperbolique et celui du sinus hyperbolique sont respectivement le DL de cos et le DL de sin mais on remplace les « – » par des « + ».
Je préfère aussi votre méthode qu’on peut plus facilement retenir grâce au sens mathématiques que des règles sur les lettres qu’on pourrait oublier tout aussi facilement que les DL !
Et en cas de fonction dont on se souvient plus du DL, un coup de Taylor Young donne le résultat en 2 ou 3 dérivations.
Très utile