L’énigme de l’évasion impossible

Un roi, deux prisonniers, 20 arbres, deux cellules, une seule et même question, voilà les ingrédients de cette énigme détonante !

Cette énigme est logique, comme la plupart des énigmes mais elle ne repose pas sur une logique linguistique ou une double négation. C’est bel et bien de déduction et d’esprit mathématique que vous devrez faire preuve pour déjouer les plans du logicien machiavélique !

Sommaire de l'article

Énoncé

Vue de la cellule de Alice: 12 arbres; vue de la cellule de Bob: 8 arbres. Dans cette énigme, les prisonniers ne peuvent pas communiquer entre eux mais doivent deviner combien d'arbres au total il y a pour être libérés. Une seule erreur et ils sont mangés !.
Vue de la cellule de Alice: 12 arbres; vue de la cellule de Bob: 8 arbres. Dans cette énigme, les prisonniers ne peuvent pas communiquer entre eux mais doivent deviner combien d’arbres au total il y a pour être libérés. Une seule erreur et ils sont mangés !.

Un roi maléfique emprisonne deux personnes, Alice et Bob. Elles sont placées dans le château du roi dans des tours séparées. Chaque tour a une fenêtre, et à travers les fenêtres de Alice et de Bob des parties séparées du jardin du château sont visibles. Dans le jardin il y a en tout 20 arbres.
Les prisonniers ne peuvent en aucun cas communiquer entre eux.

Alice voit 12 arbres à travers sa fenêtre.
Bob voit voir 8 arbres à travers sa fenêtre.

Le roi leur indique que le jardin compte 18 ou 20 arbres, qu’à deux ils voient tous les arbres mais qu’évidemment Alice et Bob voient des arbres différents.

Tous les jours, à partir du jour où ils sont emprisonnés, un gardien leur pose une question. Le gardien demande d’abord à Alice, et si aucune réponse n’est donnée, il pose ensuite la question à Bob. La question est : “Y a-t-il 18 ou 20 arbres dans le jardin ?”

Si le prisonnier interrogé répond correctement, les deux prisonniers sont libérés immédiatement.
Si le prisonnier interrogé répond par erreur, les deux prisonniers sont donnés à manger aux ours.
Le prisonnier peut choisir de ne pas répondre, auquel cas le gardien continuera de poser la question au prisonnier suivant comme mentionné ci-dessus. (Le prisonnier opte donc pour cette option s’il n’est pas sûr, puisque nous supposons que les deux prisonniers sont des entités complètement logiques).

Les prisonniers seront-ils un jour libérés ? Après combien de jours ?

Solution

Petit indice: ce qui fait avancer la résolution de l’énigme, c’est qu’à chaque fois qu’un prisonnier passe, cela signale des informations à l’autre prisonnier, ce qui transforme certaines informations en connaissances communes.

Jour 1

Si Alice voyait 19 ou 20 arbres, elle pourrait conclure qu’il y a 20 arbres. Mais elle n’en voit que 12, alors elle passe. Cela indique à  Bob que Alice voit au plus 18 arbres.

Si Bob voyait 0 ou 1 arbre, combiné avec le fait que Alice voit tout au plus 18 arbres, il pourrait conclure qu’il devrait y avoir 18 arbres. Mais Bob voit 8 arbres. Donc il doit passer. Cela indique à Alice que Bob voit au moins deux arbres.

Jour 2

Si Alice voyait 17 ou 18 arbres, elle pourrait conclure qu’il y a 20 arbres parce que Bob doit voir au moins 2 arbres. Mais Alice n’en voit que 12, alors elle passe. Cela indique à Bob que Alice voit au plus 16 arbres.

Maintenant, si Bob voyait 2 ou 3 arbres, combiné avec le fait que Alice voit au plus 16 arbres, il pourrait conclure qu’il devrait y avoir 18 arbres. Mais Bob voit 8 arbres. Donc il doit passer. Cela indique à Alice que Bob voit au moins 4 arbres.

Jour 3

Si Alice voyait 15 ou 16 arbres, elle pourrait conclure qu’il y a 20 arbres parce que Bob doit voir au moins 4 arbres. Mais Alice n’en voit que 12, alors elle passe. Cela indique Bob que Alice voit au plus 14 arbres.

Maintenant, si Bob voyait 4 ou 5 arbres, combiné avec le fait que Alice voit tout au plus 14 arbres, elle pourrait conclure qu’il devrait y avoir 18 arbres. Mais Bob voit 8 arbres. Donc il doit encore passer. Cela indique à Alice que Bob voit au moins 6 arbres.

Jour 4

Si Alice voyait 13 ou 14 arbres, elle pourrait conclure qu’il y a 20 arbres parce que Bob doit voir au moins 6 arbres. Mais elle n’en voit que 12, alors elle passe. Cela indique à Bob que Alice voit au plus 12 arbres.

Maintenant, si Bob voyait 6 ou 7 arbres, combiné avec le fait que Alice voit au plus 12 arbres, il pourrait conclure qu’il devrait y avoir 18 arbres. Mais Bob voit 8 arbres. Donc il doit encore passer. Cela indique à Alice que Bob voit au moins 8 arbres.

Jour 5

Puisque le Bob voit au moins 8 arbres et que le Alice en voit 12, elle sait qu’il y a 20 arbres. Elle donne alors la réponse: 20 arbres et ils sont libérés !

Ils peuvent donc s’échapper en seulement cinq jours !

Variantes

Cette énigme est aussi reprise avec un énoncé similaire où ce n’est pas un roi mais un logicien machiavélique qui détient toujours Alice et Bob dans une prison (ou un château), le nombre d’arbres est généralement le même mais.

 

 

2 commentaires
  1. Ligno dit

    “Si Alice voyait 19 ou 20 arbres, il pourrait conclure qu’il y a 20 arbres. Mais il n’en voit que 12, alors elle passe. Cela indique à Bob que Alice voit au plus 18 arbres.”
    Je n’ai rien compris à cette phrase. Qui est “il” ? Bob ? Bob ne voit pas 12 arbres, mais 8… Que “il” fasse référence à Bob ou à Alice, la phrase ne fait sens dans aucun des deux cas.

    1. Sam Zylberberg dit

      Juste merci ! Au départ j’avais rédigé en mettant Prisonnier A et B, j’ai oublié de modifier le “il” en “elle”, c’est normalement remplacé dans tout le texte :)

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